在算法竞赛中，树状数组（Fenwick Tree）因其简洁高效的特性被广泛使用。但传统实现需要预先确定数据范围并预分配空间，当值域达到1e18量级时，离散化预处理会带来诸多不便：需要离线处理、增加编码复杂度。

动态空间的黑魔法

我们可以利用unordered_map的无序容器特性配合树状数组的跳跃特性，实现动态内存分配的树状数组，创建出一个1e18甚至更大的树状数组，可以省去离散化的步骤，同时无需离线

#define LL long long
unordered_map<LL, LL> tree;
const LL N = 1e18 + 10;
LL lowbit(LL x) {return x & -x;}

void add(LL x, LL v) { 
    while(x <= N) {
        tree[x] += v;
        x += lowbit(x);
    }
}


LL sum(LL x) {
    LL sum = 0;
    while(x) {
        sum += tree[x];
        x -= lowbit(x);
    }
    return sum;
}

实现原理分析

1. 空间动态分配：unordered_map仅在访问时创建键值对，实际空间复杂度约为O(q logU)，其中q是操作次数，U是值域大小
2. 时间效率折衷：哈希表访问时间复杂度为均摊O(1)，但实际常数比普通数组大，在ICPC比赛中请分析好时间再谨慎使用。

优势与代价

✅ 优势：

• 对于超大值域无需预处理，支持在线操作
• 节省内存空间（稀疏数据场景）

⚠️ 注意事项：

• 时间复杂度常数较大
• 哈希冲突导致时间复杂度最坏至O(n)（可参考自定义哈希篇）

实战

下面是使用超大树状数组做的题
1D Country - AtCoder abc371\_d - Virtual Judge

使用建议

推荐在以下场景使用该技巧：

1. 值域极大但操作次数有限（q ≤ 1e5）
2. 需要快速实现原型的情况
3. 内存资源紧张的环境